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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

EJERCICIO 3.3

Hallar $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ mediante la definición de derivadas de las siguientes funciones:

a) $f(x)=x^{3} ; x_{0}=2$
b) $f(x)=\frac{1}{x} ; x_{0}=-2$
c) $f(x)=x^{3} ; x_{0}=4$
d) $f(x)=\ln (x) ; x_{0}=3$
EJERCICIO 3.4

Utilizando la definición, hallar las derivadas de las funciones anteriores en un $x_{0}$ genérico.

EJERCICIO 3.5

(Opcional) Utilizando la definición de derivada, deducir la tabla de derivadas que se encuentra en el apunte teórico.

EJERCICIO 3.6

Mediante la regla práctica hallar las derivadas de las funciones del ejercicio 3 y verificar los resultados.

EJERCICIO 3.7 Recomendado por la profe

Mediante la regla práctica y las propiedades, hallar las funciones derivadas de:

a) $f(x)=3 x^{4}-\sqrt[3]{x^{2}}+5 \cos (x)$
b) $f(x)=2 x^{5}-\frac{1}{x^{2}}+7 e^{x}$
c) $f(x)=5 x \ln (x)-\sqrt{x}$
d) $f(x)=\tan (x)$ (Sugerencia: usar que $\tan (x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$)
e) $f(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x \cos (x)}+\cos (\pi)$
f) $f(x)=4 \ln (x)-e x+9 e-\frac{x^{3} \sin(x)}{\sqrt{x}}$
g) $f(x)=\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
h) $f(x)=\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
EJERCICIO 3.8 Recomendado por la profe

Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.

a) $f(x)=|x| ; x_{0}=0$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x^{2}+2 & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2 & \text { si } & x<2 \\ x^{3}-6 & \text { si } & x \geq 2\end{array} ; x_{0}=2\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x \leq 0 \\ x^{2}+1 & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
e) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3}+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ 2 x & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
f) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
EJERCICIO 3.9 Recomendado por la profe

Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.

a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
EJERCICIO 3.10 Recomendado por la profe

Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:

a) $f(x)=(2+x)^{10}$
b) $f(x)=(2-x)^{10}$
c) $f(x)=\sin(5 x)$
d) $f(x)=\cos ^{2}(3 x+\pi)$
e) $f(x)=\cos (3 x+\pi)^{2}$
f) $f(x)=\sin^{3}(2 x-\pi / 2)^{7}$
g) $f(x)=e^{x^{2}-5 x}+2 x$
h) $f(x)=\ln \left(x^{3}-1\right)$
i) $f(x)=\ln ^{4}\left(x^{3}+2 x-1\right)$
j) $f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x}$
k) $f(x)=3 e^{\sin(x)}$
l) $f(x)=4 e^{\sin^{2}(x)}$
m) $f(x) = \tan^2(x)$
n) $f(x)=\frac{\left(5 x^{3}-2 x\right)^{2}}{e^{x^{2}} + 1 }$
ñ) $f(x)=\sin(x / 2)-\frac{\cos ^{3}(4 x-7)}{\sqrt{5 x+1}}$
o) $f(x)=\ln ^{3}\left(\sin\left(\sqrt{x^{2}+8}\right)\right)$
p) $f(x)=\cos ^{7}\left(\ln ^{4}\left(\sqrt{3 x^{2}-1}\right)\right)$
q) $f(x)=e^{\cos ^{7}\left(\ln ^{4}\left(\sqrt{3 x^{2}-1}\right)\right)}$
r) $f(x)=2^{x^{3}-\ln (x)}$
s) $f(x)=\log _{5}\left(x^{2}-3\right)$
t) $f(x)=(3 x)^{5 x-2}$
u) $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{\sin(5 x-\pi)}$
v) $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$
w) $f(x)=\left(x^{5}-7 x\right)^{\sqrt{3 x+1}}$
x) $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5 x+1}}$
EJERCICIO 3.11 Recomendado por la profe

Hallar, en cada caso, la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)$ en $x_{0}$.

a) $f(x)=3 x^{2}-2 x+1 ; x_{0}=1$
b) $f(x)=\frac{1}{x} ; x_{0}=2$
c) $f(x)=\sqrt{3 x+1}+2 x ; x_{0}=1$
d) $f(x)=\ln \left(x^{2}-3\right) ; x_{0}=2$
e) $f(x)=e^{x^{2}-2 x+1} ; x_{0}=1$
f) $f(x)=\sin(2 x+\pi / 2) ; x_{0}=\pi / 2$
g) $f(x)=\tan \left(x^{2}+x\right) ; x_{0}=0$

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